偏度與眾數、中位數、平均數之關係

今天要來探討「偏度(skewness)與眾數(mode)、中位數(median)、平均數(mean)之關係」，偏度又分成左偏與右偏。先聲明，我不用任何公式去證明他們的關係（因為我也證不出來XD），而是只用概念去分析他們的關係，再來這一篇是很適合給初學者看的一篇文章（因為我自己也是初學者XD，無法用高深的手法去探討）。

（圖一）左偏：平均數＜中位數＜眾數

（圖二）右偏：眾數＜中位數＜平均數

首先我們來先分析"（圖二）右偏"這個圖，先讓我們來了解一下圖、眾數、中位數與平均數的意涵。

1. 圖二：此圖x軸表示數值，y軸表示數量，面積表示數量而非數值大小。圖中可以看到以中位數為切割線，左半邊數據的分布是窄而密集，窄的意涵表示這群數據大部分離中位數的距離較近，可能出現離群值(outlier)機率較小，因此左半邊影響平均數的能力較小；右半邊的數據是廣而分散，廣的意涵表示這群數據大部分離中位數的距離較遠，可能出現離群值機率較大，因此右半邊影響平均數的能力較大。
2. 眾數：最多個數的數值（圖中的最高峰）。可以利用眾數與中位數來預測數據分布的趨勢（窄而密集或廣而分散）。
3. 中位數：整個樣本中，中間那一個數值。也就是說有一半的樣本是比中位數大；另一半的樣本比中位數小，並且中位數那一條直線會將圖的面積平分，意旨左半邊面積＝右半邊面積。
4. 平均數：BJ4。

分析完後，其實只要能真正讀懂圖想要表達的意涵，答案就呼之欲出了！因此，你只要知道圖長怎樣再加上中位數在哪裡，就有能力去判斷出三者間的關係。在此，在更清楚的分析一次：

1. 我已經知道圖長怎樣且知道中位數在哪裡，要如何得出三者間的關係？眾數是最簡單的，因為只要找到圖的最高峰即是，再來看以中位數為分割線左右兩邊數據的分布情形（為什麼要選中位數為切割線？理由就是為了使左右兩邊的數目相同，如果數目不同，很難去比較左右兩邊離切割線的平均距離大小。）如果左邊是窄而密集，右邊是廣而分散，那麼右邊離中位數的平均距離會大於左邊的平均，因此平均數會比中位數還要偏右；如果相反，則反之。
2. 已知圖與中位數，但如果不要靠圖，是否能得出三者間的關係？可以，首先找出眾數位在哪裡，如果眾數在中位數的左邊，可以推斷中位數左側的數據是比較密集的，因為眾數是指最多個數的數值，所以相對起來是比較密集的；而中位數右側的數據是比較分散的，因為右側無眾數，那麼可以推斷右邊離中位數的平均距離會大於左邊的平均，因此平均數會比中位數還要偏右；如果相反，則反之。（這也就是為什麼上面第二點說到，可以利用眾數與中位數來預測數據分布的趨勢，但這樣的預測是有缺陷的，因為說不定左側有眾數，但左側其他數值都只有一個；而右側無眾數，但右側其他數值只是比眾數少一點點的數量，因此這個想法無法準確判斷出數據分布的真實情況。）

所以從這些推論中，可以得到：

1. 平均數很容易受到離群值的影響，因此，平均數會偏向離群值多的一方。
2. 眾數與中位數不易受到離群值的影響，因此，當離群值很多時，平均數可能不適合來代表整個數據的值。

ps.這裡的想法全部出自於我自己吸收其他知識加統整得到的，所以多少用字上可能為沒那麼精準與專業，甚至想法上會有謬誤，如果有任何問題請留言給我。

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參考資料：

1. 維基百科。偏度[accessed 30 September 2016]
2. Yahoo知識+。請問有關統計學左偏,右偏的問題[accessed 30 September 2016]
3. 批踢踢實業坊。[問題]偏離問題[accessed 30 September 2016]
4. 批踢踢實業坊。[機統] 高峰左偏右偏時的中位數 眾數 平均數順序[accessed 30 September 2016]
5. 國立成功大學 統計學系。請問老師一個笨問題!![accessed 30 September 2016]